수조 달러를 넘어서면 매우 마음을 구부리는 숫자가 있다고 Richard Fisher는 말합니다. 그들 중 일부는 너무 커서 마음에 맞지 않거나 심지어 알려진 우주 내에서도 맞지 않습니다.
당신이 생각할 수있는 가장 큰 숫자는 무엇입니까? 내가 어렸을 때, 그것은 우리가 학교 운동장에서 서로에게 묻는 종류의 질문이었습니다. 누군가는 "10억 억"과 같은 절망적으로 순진한 말을 할 것이지만, 수조, 스퀼리언 또는 카질리언에 대해 알고 있는 동료에 의해 압도될 뿐입니다(그 중 하나만 진짜인지는 중요하지 않음).
결국, 누군가는 그들이 승리의 대답을 알고 있다는 것을 기억할 것입니다 : "무한대!" 그러나 잘난 척은 오래 가지 못했습니다. 수학 마이크가 떨어지는 또 다른 아이는 곧 "무한대... 플러스 하나".
그러나 매우 큰 숫자를 상상하고 이해하려고 노력하는 것은 단순한 놀이터 게임 그 이상입니다. 수학자들이 수세기 동안 생각해 온 과제입니다. 그들은 너무 거대해서 어떤 인간도 그것들을 기록하는 것은 고사하고 그것들을 완전히 떠올리게 한 적이 없는 숫자의 존재를 제안했습니다. 그리고 무한대에 관해서는, 그 중 하나 이상이 있다는 것이 밝혀졌습니다 – 그리고 반 직관적으로, 일부 무한대는 다른 것보다 큽니다.
10 살짜리 자아에서 잃어버린 명백한 요점부터 시작합시다. 자연수는 무한하기 때문에 가장 큰 숫자라고 설명할 수 있는 특정 숫자는 없습니다. 놀이터 게임에서 이길 수 없습니다.
그러나 그것이 모든 큰 숫자가 생각되고, 표현되고, 기록되었다는 것을 의미하지는 않습니다 ... 또는 컴퓨터로 표현됩니다.
먼저 일상 생활에서 사용되는 숫자를 직접 넘어서는 숫자의 사다리를 올라 갑시다. 뉴스 헤드 라인에서 가장 큰 숫자 - 예를 들어 국가 부채 -는 수조 단위로 표현되는 경향이 있습니다. 그러나 그 이후에 오는 더 큰 숫자의 계층이 있으며 그 이름은 거의 언급되지 않습니다. 그것은 quadrillions, quintillions, sextillions 등으로 시작합니다. 쿼드릴리온(미국 버전)에는 15개의 18이 있고, 퀸틸리온에는 21개, 섹스틸리온에는 <>개가 있습니다.
이 숫자는 엄청납니다. 인체에는 약 30조 개의 세포가 있으므로 한 방에 천조 개의 세포를 얻으려면 34명이 필요합니다. 그리고 quintillions는 지구상에 얼마나 많은 곤충이 있는지에 대해 이야기하고 싶을 때만 실제로 작동합니다 (약 10 quintillion). 한편 섹스틸리온이라는 숫자는 너무 커서 육분의 탑의 높이는 180,000광년으로 은하수의 지름보다 큽니다.
미국 버전에는 303개의 1이 있는 센틸리온까지 계속 올라갈 수 있습니다(그리고 그 이상에서는 십이지장, 트레센틸리온이 있지만 덜 표준화되어 있습니다). 현실적으로 물리학자와 수학자만이 7년 동안 많이 사용할 수 있으며, 그때도 끈 이론과 같은 전문 분야에서만 사용할 수 있습니다. Elon Musk가 백부장자가 되기를 원했다면 향후 10.282 x 283^<>년(<>자리 길이) 동안 밀리초마다 현재의 부를 벌어야 합니다.
구골과 구골 플렉스
미국 센틸리온만큼 크지는 않지만 아마도 더 잘 알려진 또 다른 큰 숫자는 구골입니다. 이것은 100 개의 10 – 100 ^ 801이 뒤 따르며 잘 알려진 검색 엔진에 영감을 제공했습니다. Google의 설립자들은 온라인에서 발견되는 방대한 양의 정보에 고개를 끄덕였기 때문에 그것에 끌렸습니다. 그러나 지금까지 인터넷은 그다지 크지 않습니다 : 현재까지 인터넷 아카이브의 Wayback Machine은 1990 년대 이후 <> 억 개의 웹 페이지 만 색인화했습니다.
구골을 구골 플렉스(Google 캘리포니아 본사 이름) 로 만들어 과급할 수 있습니다. 이 숫자는 구골의 거듭제곱에 10 또는 10의 거듭제곱에 10의 제곱입니다.
이것이 얼마나 큰지 알기 위해 나는 미국 노트르담 대학의 수학자 조엘 데이비드 햄킨스 (Joel David Hamkins)와 이야기를 나눴는데, 그는 엄청난 수와 무한대에 관한 뉴스 레터를 씁니다.
그는 googol 플렉스가 1 다음에 googol 수의 0이 오는 것이라고 설명합니다. 그것을 적는 데 얼마나 걸립니까? 글쎄, 당신은 어렸을 때 처음 연필을 집어 들었을 때 시작하더라도 평생 동안 그것을 할 수 없었습니다.
우리가 말하는 자릿수를 다루기 위해 Hamkins는 다음과 같은 사고 실험을 제안합니다.
"숫자를 인쇄하는 초고속 프린터라는 인쇄 장치를 주었다고 가정하고 예를 들어 초당 백만 자리를 인쇄 할 수 있다고 가정 해 봅시다."라고 그는 말합니다. 이제 13억 년 전 또는 8^10초 전에 우주가 시작될 때 인쇄를 시작했다고 상상해 보십시오. "매초 백만 자리 숫자를 인쇄하더라도, 빅뱅에서 태초부터이 일을 놓아 둔다면, 당신은 가깝지도 않을 것이고, 당신은 googol 플렉스의 가장 작은 부분을 갖게 될 것입니다."
Hamkins는 또한 흥미로운 점을 지적합니다 - 더 간단한 표기법이나 한 단어로 축소 될 수없는 googol plex보다 작은 숫자가 많기 때문에 "근본적으로 우리의 이해를 초월합니다". 그들은 상상하거나 표현한 적이 없습니다.
"그 숫자가 무엇인지 말할 수있는 유일한 방법은 숫자를 말하는 것입니다. 그러나 태초부터 매초 백만 자리를 인쇄하더라도 그 숫자를 말할 수 없을 것입니다." 라고 그는 말합니다. "그래서 이것은 우리가 엄청난 숫자에 대한 간단한 설명을 가지고 있지만 그 사이에 있는 많은 숫자는 설명하기가 매우 어렵다는 것을 의미하기 때문에 흥미로운 상황입니다. 설명적 복잡성 측면에서 단순한 이정표 숫자가 있지만 그 사이에는 이러한 복잡성의 바다가 있습니다."
매초 백만 자리를 인쇄하더라도 태초부터 그 숫자를 말할 수 없습니다.
그러나 수학자들은 구골 플렉스보다 훨씬 더 큰 숫자를 설명했습니다. 가장 유명한 것은 그레이엄의 번호입니다.
1970년대에 구상된 수학자 로널드 그레이엄은 그것을 수학적 증명의 일부로 사용했습니다. 그는 혼돈 속에서 질서를 찾는 방법을 다루는 램지 이론이라는 수학 분야의 문제를 해결하기 위해 제안했습니다.
그 뒤에있는 수학을 이해하는 것은 약간 복잡하지만, 알아야 할 가장 중요한 것은 그것을 만드는 것이 진정으로 두뇌를 산산조각내는 정도의 지수를 포함한다는 것입니다. Graham 자신은 수학 YouTube 채널 Numberphile에 대한이 비디오에서 이유를 설명합니다.
아, 그리고 당신은 또한 당신이 그것을 종이에 적으려고 노력하더라도, 보이는 우주에는 그것을 넣을 공간이 충분하지 않을 것이라는 것을 알아야합니다.
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그래도 무한대는 어떻습니까? 보통 사람에게 무한대는 간단한 개념으로 보입니다 - 숫자가 아니라 영원히 계속되는 것입니다. 그러나 인간의 마음이 그것을 진정으로 이해할 수 있는지 여부는 또 다른 질문입니다.
1700 년대에 작가이자 철학자 인 에드먼드 버크 (Edmund Burke)는 "무한대는 숭고한 것에 대한 가장 진정한 효과이자 가장 진실한 시험 인 그런 종류의 유쾌한 공포로 마음을 채우는 경향이 있습니다"라고 썼습니다. Burke에게이 개념은 놀라움과 두려움이 섞인 것을 불러 일으켰습니다. 즐거움과 고통, 동시에 둘 다. 그리고 상상 속을 떠나 세상에서 그런 일을 접한 적은 거의 없었고, 그때도 진정으로 알 수 없었다.
그러나 다음 세기에 논리 학자 Georg Cantor는 무한의 개념을 취하여 더욱 마음을 구부리게했습니다. 그는 일부 무한대가 다른 무한대보다 크다는 것을 보여주었습니다.
어째서? 이유를 이해하려면 숫자를 '세트'로 간주하십시오. 한 세트의 모든 자연수 (1, 2, 3, 4 등)와 다른 세트의 모든 짝수를 비교하면 원칙적으로 모든 자연수를 해당 짝수와 쌍을 이룰 수 있습니다. 이 쌍은 두 세트(둘 다 무한대)가 동일한 크기임을 나타냅니다. 그들은 '셀 수 없이 무한'합니다.
그러나 Cantor는 자연수와 '실수'숫자 (1, 2, 3, 4 (0.123, 0.1234, 0.12345 등) 사이의 소수를 가진 숫자의 연속체에 대해서도 똑같이 할 수 없다는 것을 보여주었습니다.
각 집합 내에서 숫자를 쌍으로 만들려고 하면 항상 자연수와 일치하지 않는 실수를 찾을 수 있습니다. 실수는 셀 수 없을 정도로 무한합니다. 따라서 여러 크기의 무한대가 있어야 합니다.
이것은 그림은 고사하고 받아들이기 어렵지만, 그것이 수학적 거대함과 씨름하려고 할 때 마음에 일어나는 일입니다. 그런 엄청난 숫자는 10 살짜리 내가 상상할 수있는 것보다 훨씬 더 이해하기 어렵습니다.
